数学の視点 ― 2015年01月20日 09:40
目次を見ていると、方程式に素因数分解に角の三等分問題にベクトルと、あれこれ四方山話を詰め込んだのかなと思わせておいて、結局、環や体や群の優れた導入の話になっているという。
数学は高校までで、大学の教養でちょっと数論をかじったくらい。その後、理工系向けの大学初年度向けのテキストなどを試したものの、道具として身につけることを優先した記述は、どうしてもしっくりこない。そういう立場で本書を読むと、古代からの歴史の中で、問題を解くために、時に数の性質を突き詰め、時に作図を突き詰め、云々と、様々な道具立てを編み出してきた思考の経緯がすっと入ってきて、これまでの消化不良が解消される。最後のガロア理論のあたりは、新しい消化不良に残ってしまったけど。
まえがきにあるように、数学好きの高卒程度の下地があれば、読み進められる。記号の解説もしっかり（ちょっとばらつきはあるけど）。誤植はいくつかあるようだが、自己解決できる範囲。とはいえ、代数やベクトル解析のテキスト、数学入門辞典（岩波）のお世話になった。手元に使い慣れた参考書類はあったほうがいい。
あとで手元の本を探すと、岩波口座 現代数学への入門のシリーズの代数入門１，２が同じ上野健爾氏の著作でカバーする範囲も似ている。より専門的にはこちら。
ExtendedGCD ― 2015年01月20日 10:59
「数学の視点」を、例題をいくつか手計算で確認しながら読み進む。Mathematicaがあるのだから、例題に使えるか試したくなる。Cookbookには代数の例は少なかった気がしたけど。
定理２．１．３（数学の視点、から）
正整数m,nの最大公約数がdであれば、
d=pm+qn
を満足する整数p,qが存在する。特にmとnとが互いに素であれば、
1=pm+qn
を満足する整数p,qが存在する。
を受けて、
問題２．１．１
m=36, n=47に対して、36a+47b=1となるa,bを求めよ。
手計算では結構苦労したので、さて。
素人らしく、SolveやRoots、Reduceでは、求める解は出てこない。a,bを整数と指示しても変わらない。ここまでは予想のうち。
悩むこと数分、マニュアルの目次から、整数論に関連する関数の項に、そのものずばりの関数を見つける。ExtendedGCD：拡張版の最大公約数。引数の順番を変えると答えが変わる。いや、あっけない。
拡張版の最大公約数については、ユークリッドの互除法の拡張版で探すと、いろいろなサイトに説明がある。手計算でもう一度、確認。確かに、同じ答えが得られる。
PolynomialReduceとSymmetricReduction ― 2015年01月20日 11:43
「数学の視点」からもう一題。５．５．５で3次方程式を論ずる中で、判別式を3次方程式の係数を使って表す計算がある。少し面倒な計算なので、Mathematicaの力を借りられないか。
U+Vをx1,x2,x3の基本対称式a1,a2,a3で表すための計算。
下付文字にしていないのは、ただの怠慢。
答えは、a1 a2 - 3a3 になるらしい（本書、誤植？）。展開すると、U+Vと同じかたちになる。
探してみると、PolynomialReduce（多項式の簡約）が使えそう。答えがリストで返ってくるのが少々厄介。答えを使って式を組み立ててみると、a1とa3は使えているが、a2を使えていない。展開すると、U+Vと同じかたちになるので、方向はあっていそう。
PolynomialReduceの引数の与え方を逆にしてみる。今度は惜しい。
ここで一思案。ふと、アドオンの代数関連のパッケージを見ていると、対称式に関連していそうなものを見つける。またしても、そのものずばりの関数がある。SymmetricReduction。今は、標準の関数になっている様子。-3a3+a1 a2が得られる。
やはり、MathematicaCookbookのようなテキストがあると助かる。そうでないときは、丹念にマニュアルを探っていくことになりそう。
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